Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {1;4} \right]\).

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;4} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;4} \right]\end{array} \right.\).

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x\), \(x = 1\), \(x = 4\) và trục hoành có diện tích bằng:

\(S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^4 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\)\( = \left| { - \dfrac{2}{3}} \right| + \left| {\dfrac{{20}}{3}} \right| = \dfrac{{22}}{3}.\)

Chọn B.