Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\): \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = \dfrac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)\( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1\) và \(y\left( 0 \right) = 1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là: \(y = 1\left( {x - 0} \right) + 1 \Leftrightarrow y = x + 1\).

Chọn A.