Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \({x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) và \(\left( { - \infty ;4} \right)\), do đó để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục tại \(x = 4\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 1}  - \sqrt {x + 5} }}{{x - 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{{2x + 1 - x - 5}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 5} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 5} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{3 + 3}} = \dfrac{1}{6}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{\left( {a + 2} \right)x}}{{24}} = \dfrac{{a + 2}}{6} = f\left( 4 \right)\end{array}\) 

Để hàm số liên tục tại \(x = 4\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{a + 2}}{6} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow a =  - 1\).

Chọn B.