Phương pháp giải:

- Hàm đa thức liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại .. và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Do là các hàm đa thức nên hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\,\,\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục tại \(x =  - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {2018x + 2019} \right) = 1 = f\left( { - 1} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x + m} \right) =  - 1 + m\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại \(x =  - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow  - 1 + m = 1 \Leftrightarrow m = 2\).

Vậy \(m = 2\).

Chọn C.