Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến tại \(M\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{{x_0} - 1}}}}{{x - {x_0}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x_0} - 1 - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)\left( {x - {x_0}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\).

Vậy từ giả thiết ta suy ra \( - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {2;1} \right)\\{M_2}\left( {0; - 1} \right)\end{array} \right.\) .

+ Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_1}\left( {2;1} \right)\) có dạng:  \(y =  - 1.\left( {x - 2} \right) + 1 \Leftrightarrow y =  - x + 3\).

+ Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_2}\left( {0; - 1} \right)\) có dạng:  \(y =  - 1.\left( {x - 0} \right) - 1 \Leftrightarrow y =  - x - 1\).

Kết luận: \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y =  - x + 3,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y =  - x - 1\).

Chọn D.