Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến tại \(M\).

Với \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 3 \Rightarrow M\left( {1;3} \right)\).

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\) là \(k = f'\left( 1 \right)\).

\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 3} \right) = 4\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {1;3} \right)\) có dạng: \(y = 4\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 1\).

Kết luận: \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 4x - 1\).

Chọn B.