Phương pháp giải:

\(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by - c = 0\)  là đường tròn nếu thỏa mãn:

+) Hệ số của \({x^2},\,\,{y^2}\) bằng nhau.

+) \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét đáp án A: \(\,4{x^2} + {y^2} - 10x + 6y + 2 = 0\) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau.

+) Xét đáp án B: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 8y + 20 = 0,\)  ta có:  \(a =  - 1,\,\,\,b =  - 4,\,\,c = 20\).

Vì \({\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} - 20 < 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c < 0\) \( \Rightarrow \) \({x^2} + {y^2} + 2x + 8y + 20 = 0\) không phải là phương trình đường tròn.

+) Xét đáp án C: \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\), ta có: \(a = 2,\,\,b = 3,\,\,c =  - 12\)

Vì \({2^2} + {3^2} - \left( { - 12} \right) = 25 > 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\) nên \({x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\) là phương trình đường tròn với bán kính \(I\left( {2;\,\,3} \right)\), \(R = 5\).

Chọn  C.