Phương pháp giải:

- Xác định hai điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình \(y' = 0\).

- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số: \(\dfrac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}\).

- Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a.a' =  - 1\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x.\)

\(y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;1} \right)\\x = 2 \Rightarrow B\left( {2; - 3} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là: \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {2; - 3} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \(\left( {d'} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}}\)\( \Leftrightarrow  - 4x = 2y - 2 \Leftrightarrow y =  - 2x + 1.\)

Để đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,y =  - 2x + 1\) vuông góc với đường thẳng \(d:y = \left( {2m - 1} \right)x + 3 + m\) thì:\(\left( {2m - 1} \right)\left( { - 2} \right) =  - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{4}.\)

Chọn C.