Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia, xác định chiều cao của khối chóp.

- Xác định góc giữa cạnh bên $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Thể tích khối chóp có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ là $V = \dfrac{1}{3}Bh$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SH \bot AB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right.$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Khi đó $HC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$

$\Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {60^0}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $BHC$ ta có: $HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}$.

Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SH \bot HC$ hay $\Delta SHC$ vuông tại $H$.

$\Rightarrow SH = HC.tan{60^0} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}.\sqrt 3  = \dfrac{{a\sqrt {51} }}{2}$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên ${S_{ABCD}} = AB.AD = a.2a = 2{a^2}$.

Vậy ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {51} }}{2}.2{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{3}.$

Chọn B.