Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\)thì \(x = a\)  là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Đồ thị hàm số không có TCĐ.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 5\)

     \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{5x}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{5x}}{{ - x\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - 5}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - 5\)

Đồ thị hàm số có 2 TCN là: \(y = 5,\,y =  - 5\).

Chọn A.