Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\)thì \(x = a\)  là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} =  + \infty ,\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}}  = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là \(x = 1.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{ - x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 2 TCN là \(y =  \pm 1.\)

Chọn C.