Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) và đi qua điểm \(M\) có bán kính là \(R = IM,\) có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = I{M^2}.\)

Lời giải chi tiết:

 Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {R^2}.\)

\(\left( C \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;1} \right) \Rightarrow {\left( {3 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow {R^2} = 8.\)

Vậy \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8.\)

Chọn A.