Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) tại điểm \(M\left( {2;3} \right)\) có hệ số góc là \(k = y'\left( 2 \right) = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} =  - 2.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {2;3} \right)\) là: \(y =  - 2\left( {x - 2} \right) + 3 \Leftrightarrow y =  - 2x + 7.\)

Chọn D.