Phương pháp giải:

- Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right)\).

- Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\). Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {2m - 1} \right)\sin x - \left( {m + 2} \right)\cos x + 4m - 3 \ge 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow m\left( {2\sin x - \cos x + 4} \right) \ge \sin x + 2\cos x + 3\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} - \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \le 2\sin x - \cos x \le \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow  - \sqrt 5  \le 2\sin x - \cos x \le \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow  - \sqrt 5  + 4 \le 2\sin x - \cos x + 4 \le \sqrt 5  + 4\\ \Rightarrow 2\sin x - \cos x + 4 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Khi đó ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 3}}{{2\sin x - \cos x + 4}}\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 3}}{{2\sin x - \cos x + 4}}\) ta có \(m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right)\).

Gọi \(M = \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right)\), khi đó tồn tại \(x \in \mathbb{R}\) để \(M = \dfrac{{\sin x + 2\cos x + 3}}{{2\sin x - \cos x + 4}}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2M\sin x - M\cos x + 4M = \sin x + 2\cos x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {2M - 1} \right)\sin x - \left( {M + 2} \right)\cos x = 3 - 4M\end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2M - 1} \right)^2} + {\left( {M + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 4M} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{M^2} - 4M + 1 + {M^2} + 4M + 4 \ge 16{M^2} - 24M + 9\\ \Leftrightarrow  - 11{M^2} + 24M - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le M \le 1\end{array}\)

\( \Rightarrow M = \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = 1\) \( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow m \ge 1\).

Mặt khác, \(m\) là số nguyên dương nhỏ hơn 2019 nên \(m \in \left\{ {2;3;4;5;....;2018} \right\}\) là các giá trị thỏa mãn.

Vậy có 2017 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn A.