Phương pháp giải:

Số giao điểm của 2 đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 4x + 1\) và đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) là:

\(\begin{array}{l}4x + 1 = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {4x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = x - 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 9x + 2 = x - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + 8x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất hay đường thẳng \(y = 4x + 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) tại 1 điểm duy nhất.

Chọn B.