Phương pháp giải:

Tần số góc của hệ dao động: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}} \)

Khi động năng bằng thế năng: \({{\rm{W}}_d} = {{\rm{W}}_t} = \dfrac{{\rm{W}}}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt 2 }};v =  \pm \dfrac{{A\omega }}{{\sqrt 2 }}\)

Vận tốc của hệ sau va chạm: \({v_1} = \dfrac{{mv}}{{M + m}}\)

Công thức độc lập với thời gian: \({x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\)

Vận tốc của hệ ở vị trí cân bằng: \({v_{\max }} = A\omega \)

Lời giải chi tiết:

+ Trước khi va chạm:

Tần số góc của con lắc là: \(\omega  = \sqrt {\dfrac{k}{m}}  = \sqrt {\dfrac{{100}}{{0,5}}}  = 10\sqrt 2 \,\,\left( {rad/s} \right)\)

Tại thời điểm vật có động năng bằng thế năng, li độ và vận tốc của vật là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{A}{{\sqrt 2 }} =  \pm \dfrac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} =  \pm 3\,\,\left( {cm} \right)\\v =  \pm \dfrac{{A\omega }}{{\sqrt 2 }} =  \pm \dfrac{{3\sqrt 2 .10\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 30\sqrt 2 \,\,\left( {cm/s} \right)\end{array} \right.\)

+ Sau va chạm:

Vận tốc của hệ là: \(v' = \dfrac{{mv}}{{m + {m_0}}} = \dfrac{{0,5.30\sqrt 2 }}{{0,5 + \dfrac{{0,5}}{2}}} = 20\sqrt 2 \,\,\left( {cm/s} \right)\)

Tần số góc của hệ là: \(\omega ' = \sqrt {\dfrac{k}{{m + {m_0}}}}  = \sqrt {\dfrac{{100}}{{0,5 + \dfrac{{0,5}}{2}}}}  = \dfrac{{20}}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( {rad/s} \right)\)

Ta có công thức độc lập với thời gian:

\({x^2} + \dfrac{{v{'^2}}}{{\omega {'^2}}} = A{'^2} \Rightarrow {\left( { \pm 3} \right)^2} + \dfrac{{{{\left( { \pm 20\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{20}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = A{'^2} \Rightarrow A' = \sqrt {15} \,\,\left( {cm} \right)\)

Vận tốc của hệ ở vị trí cân bằng là: \({v_{\max }}' = A'\omega {'^2} = \sqrt {15} .\dfrac{{20}}{{\sqrt 3 }} = 20\sqrt 5 \,\,\left( {cm/s} \right)\)

Chọn D.