Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Biến đổi $x$ sau đó thay giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện và tính giá trị của biểu thức.

+) Giải bất phương trình $A < 0$ để tìm $x,$ đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Rút gọn biểu thức $A.$

Điều kiện $x > 0,x \ne 4$

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x + 2\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 4}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}:\frac{{ - 3}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{ - 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\end{array}$

Vậy với $x > 0,x \ne 4$  thì $A = \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}$ .

b) Tính giá trị khi $x = 9 - 4\sqrt 5$

Điều kiện $x > 0,x \ne 4$

$\begin{array}{l}x = 9 - 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2.2.\sqrt 5  + {2^2} = {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| = \sqrt 5  - 2\left( {do\,\,\sqrt 5  - 2 > 0\,} \right)\end{array}$

Thay $x = 9 - 4\sqrt 5 \,\,\,\left( {tm} \right)$ vào biểu thức ta được:

$A = \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{{2 - \left( {\sqrt 5  - 2} \right)}}{{\sqrt 5  - 2}} = \frac{{4 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 2}} = \frac{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5  + 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}} = \frac{{4\sqrt 5  + 8 - 5 - 2\sqrt 5 }}{1} = 2\sqrt 5  + 3.$

Vậy với $x = 9 - 4\sqrt 5$ thì  $A = 2\sqrt 5  + 3.$

c) Tìm $x$ để $A < 0.$

Điều kiện $x > 0,x \ne 4$

 Ta có: $A < 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} < 0$

Với $x > 0,x \ne 4$ ta có: $\sqrt x  > 0$

$\Rightarrow \frac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} < 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt x  < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  > 2 \Leftrightarrow x > 4.$ thì  $2 - \sqrt x  < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  > 2 \Leftrightarrow x > 4$

Kết hợp với điều kiện ta được $x > 4$ thì $A < 0.$