Phương pháp giải:

- Đặt \(\sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x}  = t\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Đưa hàm số về ẩn \(t\), sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \( - 2 \le x \le 2\).

Đặt \(\sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x}  = t\)  ta có : \({t^2} = 2 + x + 2 - x + 2\sqrt {4 - {x^2}} \)

\( \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}  \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2}\).

Xét \(g\left( x \right) = \sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x} \)với \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) ta có:\(g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {2 + x} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {2 - x} }}\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2 + x}  = \sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có: \(g\left( { - 2} \right) = g\left( 2 \right) = 2,\,\,g\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 .\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( x \right) = 2;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( x \right) = 2;\sqrt 2 \) \( \Rightarrow 2 \le g\left( x \right) \le 2\sqrt 2 ,\,\,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\)

\( \Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right].\)

Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right) = {m^2}\left( {\sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x} } \right) + 4\sqrt {4 - {x^2}}  + m + 1\) trở thành

\(y = h\left( t \right) = {m^2}t + 2\left( {{t^2} - 4} \right) + m + 1 = 2{t^2} + {m^2}t + m - 7\)\(,\,t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)

Ta có: \(h'\left( t \right) = 4t + {m^2} > 0,\,\,\forall \)\(t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right].\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} h\left( t \right) = h\left( 2 \right) = 4\\ \Leftrightarrow 8 + 2{m^2} + m - 7 = 4\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tổng các giá trị của m là : \(1 + \dfrac{{ - 3}}{2} =  - \dfrac{1}{2}\).

Chọn D.