Câu hỏi
Hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông, \(AB = AC = a\), \(AA' = a\sqrt 2 \). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AA'\), \(BC'\). Tính thể tích khối chóp \(B.A'MN\)?
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Phương pháp giải:
- So sánh \({V_{B.A'MN}}\) và \({V_{B.A'MC'}}\).
- So sánh \({V_{B.A'MC'}}\) và \({V_{B.ACC'A'}}\).
- So sánh \({V_{B.ACC'A'}}\) và \({V_{ABC.A'B'C'}}\), từ đó tính \({V_{B.A'MN}}\) theo \({V_{ABC.A'B'C'}}\).
- Tính \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\dfrac{{{V_{B.A'MN}}}}{{{V_{B.A'MC'}}}} = \dfrac{{BN}}{{BC'}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {V_{B.A'MN}} = \dfrac{1}{2}{V_{B.A'MC'}}\)
Lại có \({V_{B.A'MC'}} = \dfrac{1}{4}{V_{B.ACC'A'}}\) nên \({V_{B.A'MN}} = \dfrac{1}{8}{V_{B.ACC'A'}}\).
Mà \({V_{B.ACC'A'}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\) nên \({V_{B.A'MN}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}}\).
Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \({V_{B.A'MN}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
