Phương pháp giải:

Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\): Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\) thì \(x = a\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 3mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 3mx + m = 0\) hoặc có đúng một nghiệm khác \(2\), hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.

TH1: Phương trình có đúng một nghiệm khác \(2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 9{m^2} - 4m = 0\\4 - 6m + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{4}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0 \in \mathbb{Z}\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{4}{9} \notin \mathbb{Z}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2 \( \Rightarrow 4 - 6m + m = 0\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{5} \notin \mathbb{Z}\,\,\left( {ktm} \right).\)

Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn là \(m = 0\).

Chọn: A.