Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 3.\left( {4{x^3} - 4x} \right)f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) - 12{x^5} - 24{x^3} + 36x\\g'\left( x \right) = 12x\left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) - 12x\left( {{x^4} + 2{x^2} - 3} \right)\\g'\left( x \right) = 12x\left[ {\left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) - \left( {{x^4} + 2{x^2} - 3} \right)} \right]\\g'\left( x \right) = 12x\left[ {\left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)} \right]\\g'\left( x \right) = 12x\left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)} \right]\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\\f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) = {x^2} + 3\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (*):

Đặt \(t = {x^4} - 2{x^2} + 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\,\,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = t - 1\\ \Rightarrow {x^2} - 1 = \sqrt {t - 1} \\ \Rightarrow {x^2} = \sqrt {t - 1}  + 1\end{array}\)

Khi đó ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f'\left( t \right) = \sqrt {t - 1}  + 4\,\,\left( {t \ge 1} \right)\,\,\left( {**} \right)\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = \sqrt {t - 1}  + 4\,\,\left( {t \ge 1} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (**) vô nghiệm và \(f'\left( {{x^4} - 2{x^2} + 2} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right) < 0\,\,\forall x\), khi đó ta có \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có BBT của hàm số \(g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 điểm cực đại.

Chọn B.