Phương pháp giải:

Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right..\)

Khi đó \({y_0} = y\left( {{x_0}} \right)\) là giá trị cực tiểu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số.

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_0}} \right) = 0\\y''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x_0^3 - 4{x_0} = 0\\12x_0^2 - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x_0^{}\left( {x_0^2 - 1} \right) = 0\\x_0^2 > \frac{1}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  - 1\\{x_0} = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} > \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\{x_0} <  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{x_0} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt cực tiểu tại \({x_0} =  - 1\) và \({x_0} = 1.\)

\( \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) = y\left( 1 \right) =  - 4.\)

Chọn C.