Phương pháp giải:

Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3m{x^2} + 2x + {m^2} - 6\\ \Rightarrow y'' = 6mx + 2\end{array}\)

Hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + \left( {{m^2} - 6} \right)x + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 1\)  

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 2 + {m^2} - 6 = 0\\6m + 2 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 4 = 0\\m >  - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 4\end{array} \right.\\m >  - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)

Chọn D.