Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia để xác định đường cao của chóp.

- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\) trong đó \({S_{day}}\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(SH \bot AB\) và \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì tam giác \(ABCD\) đều cạnh \(a\) nên \(AB = a\), do đó \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) và \({S_{ABCD}} = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}}\)\(\dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

Chọn B.