Phương pháp giải:

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) tính \(AB,\,\,AC\), từ đó tính diện tích tam giác \(ABC\).

- Áp dụng định lí Pytago tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại\(A\) có \(BC = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow AB = AC = a.\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}{a^2}\).

Ta có: \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AA' \bot AB\), do đó tam giác \(A'BA\) vuông tại \(A\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'BA\)ta có: \(AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} \)\( = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a\)

Vậy thể tích khối trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt 2 a.\dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^3}\sqrt 2 .\)

Chọn B.