Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biển, đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {x + 1} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x  + x\sqrt {x + 1} }} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} \left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt x } \right)}}} } \).

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt x \) ta có: \(dt = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \dfrac{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt x }}{{2\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} }}dx\)

\( \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt {x\left( {x + 1} \right)} }} = \dfrac{{2dt}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt x }} = \dfrac{{2dt}}{t}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1 + \sqrt 2 \\x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 2  + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{1 + \sqrt 2 }^{\sqrt 2  + \sqrt 3 } {\dfrac{{2dt}}{{{t^2}}}}  = \left. { - \dfrac{2}{t}} \right|_{1 + \sqrt 2 }^{\sqrt 2  + \sqrt 3 }\)\( =  - \dfrac{2}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt 2 }} =  - 2\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right) + 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\)

\( =  - 2\sqrt 3  + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 2  - 2\) \( =  - 2\sqrt 3  + 4\sqrt 2  - 2\) \( = \sqrt {32}  - \sqrt {12}  - 2\).

\( \Rightarrow a = 32,\,\,b = 12,\,\,c = 2\).

Vậy \(a + b + c = 32 + 12 + 2 = 46\).

Chọn D.