Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(A'B',\,\,A'D'\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot AH\\A'B' \bot HM\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {AHM} \right) \Rightarrow A'B' \bot AM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'B'\\\left( {ABB'A'} \right) \supset AM \bot A'B'\\\left( {A'B'C'D'} \right) \supset HM \bot A'B'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \angle AMH = {45^0}\).

Chứng minh tương tự ta có \(\angle ANH = {60^0}\).

Đặt \(A'M = x,\,\,A'N = y\).

Vì \(A'MHN\) là hình chữ nhật nên \(NH = A'M = x,\,\,MH = A'N = y\).

Xét tam giác vuông \(AHM\) có \(\angle AMH = {45^0}\) nên \(AH = MH.\tan {45^0} = y\).

Xét tam giác vuông \(AHN\) có \(\angle ANH = {60^0}\) nên \(AH = NH.\tan {60^0} = x\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}A'H = \sqrt {A'{M^2} + M{H^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\AH = \sqrt {AA{'^2} - A'{H^2}}  = \sqrt {1 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \end{array}\)

Do đó ta có

\(\begin{array}{l}y = x\sqrt 3  = \sqrt {1 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \\ \Leftrightarrow x\sqrt 3  = \sqrt {1 - \left( {{x^2} + 3{x^2}} \right)} \\ \Leftrightarrow 3{x^2} = 1 - 4{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}\\ \Rightarrow y = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} = AH\end{array}\)

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AH.{S_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}.\sqrt 3 .\sqrt 7  = 3\).

Chọn D.