Phương pháp giải:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \(\left( C \right).\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là:

\(\begin{array}{l}{x^3} - x - 14 =  - 3x + 19\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2x - 33 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3.\end{array}\)

\( \Rightarrow d\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(1\) điểm duy nhất.

Chọn C.