Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để phương trình \(y' = 0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 2x + m\).

Để hàm số có cực tiểu thì phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\).

Do hệ số \(a = 1 > 0\) nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt hoặc có hai nghiệm trái dấu.

TH1: Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{3} > 0\\m > 0\end{array} \right.\) (Vô nghiệm).

TH2: Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m < 0\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 2019;0} \right)\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...; - 1} \right\}\).

Vậy có 2018 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.