Lời giải chi tiết:

Vì \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}M \ge f\left( { - 1} \right) = \left| {1 - a + b} \right|\\M \ge f\left( 1 \right) = \left| {1 + a + b} \right| \Rightarrow 2M \ge \left| { - 2 - 2a - 2b} \right|\\M \ge f\left( 3 \right) = \left| {9 + 3a + b} \right|\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế của các bất phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}4M \ge \left| {1 - a + b} \right| + \left| { - 2 - 2a - 2b} \right| + \left| {9 + 3a + b} \right|\\ \Rightarrow 4M \ge \left| {1 - a + b - 2 - 2a - 2b + 9 + 3a + b} \right|\\ \Rightarrow 4M \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 2\end{array}\) 

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của \(M\) bằng \(2\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {1 - a + b} \right| = 2\\\left| {1 + a + b} \right| = 2\\\left| {9 + 3a + b} \right| = 2\end{array} \right.\) và \(\left( {1 - a + b} \right);\,\,\,\left( {1 + a + b} \right);\,\,\,\left( {9 + 3a + b} \right)\) cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 1\end{array} \right.\) .

Vậy \(a + 2b =  - 2 + 2\left( { - 1} \right) =  - 4\).

Chọn C.