Phương pháp giải:

Biến đổi rồi lấy tích phân 2 vế.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \sqrt {\left( {x + 1} \right)f\left( x \right)}  \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{2}\)

Lấy tích phân từ 3 đến 8 của hai vế ta được:

\(\int\limits_3^8 {\dfrac{{f'\left( x \right)dx}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }}}  = \int\limits_3^8 {\dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{2}dx} \)\( \Leftrightarrow \left. {\sqrt {f\left( x \right)} } \right|_3^8 = \dfrac{{19}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {f\left( 8 \right)}  - \sqrt {f\left( 3 \right)}  = \dfrac{{19}}{3}\)\( \Leftrightarrow \sqrt {f\left( 8 \right)}  - \sqrt {\dfrac{2}{3}}  = \dfrac{{19}}{3}\)

\( \Leftrightarrow f\left( 8 \right) = {\left( {\dfrac{{19}}{3} + \sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right)^2} \Leftrightarrow {f^2}\left( 8 \right) = {\left( {\dfrac{{19}}{3} + \sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right)^4} \approx 2613,261\) 

Vậy \(2613 < {f^2}\left( 8 \right) < 2614\).

Chọn D.