Phương pháp giải:

Phân chia khối đa diện: \({V_{ABCD.SEF}} = {V_{C.BDSE}} + {V_{F.BDSE}} + {V_{ABDF}} = {V_1} + {V_2} + {V_3}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_{ABCD.SEF}} = {V_{C.BDSE}} + {V_{F.BDSE}} + {V_{ABDF}} = {V_1} + {V_2} + {V_3}\).

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(AC \bot BD\) tại \(O\).

Gọi \(BS \cap DE = H\)\( \Rightarrow BS \bot ED\) tại \(H\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \bot \left( {ABEF} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABEF} \right) = AB\\BE \subset \left( {ABCD} \right);\,\,BE \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BE \bot \left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}CA \bot BD\\CA \bot BE\end{array} \right. \Rightarrow CA \bot \left( {BDSE} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(1\) nên \(BD = \sqrt 2 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BDE\) có:

\(BH = \dfrac{{BE.BD}}{{\sqrt {B{E^2} + B{D^2}} }}\)\( = \dfrac{{1.\sqrt 2 }}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)\( \Rightarrow BS = 2BH = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BDE\) có: \(DE = \sqrt {B{E^2} + B{D^2}} \)\( = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{BDSE}} = \dfrac{1}{2}BS.DE\)\( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}.\sqrt 3  = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {V_1} = {V_{C.BDSE}} = \dfrac{1}{3}.CO.{S_{BCSE}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2  = \dfrac{1}{3}\).

Ta có: \(AF\parallel \left( {BDSE} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {F;\left( {BDSE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BDSE} \right)} \right)\)\( = AO = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow {V_2} = {V_{F.CDSE}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2  = \dfrac{1}{3}\).

\({V_{ABDF}} = \dfrac{1}{3}.FA.\dfrac{1}{2}.AB.AD\)\( = \dfrac{1}{6}\).

Vậy \({V_{ABCD.SEF}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).

Chọn D.