Phương pháp giải:

Hai chóp có cùng chiều cao thì tỉ lệ thể tích chính bằng tỉ lệ diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi  là trung điểm của \(BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ON \bot BC\\SO \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SON} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SN\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SN \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset ON \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SN;ON} \right)\) \( = \angle SNO = {60^0}\).

Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) \( \Rightarrow ON = \frac{a}{2}\).\(N\)

\( \Rightarrow SO = ON.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Ta có: \({S_{BEF}} = \frac{1}{2}d\left( {B;EF} \right).EF\) \( = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left( {S;BC} \right).\frac{1}{2}BC = \frac{1}{4}{S_{SBC}}\).

\( \Rightarrow {V_{BMEF}} = {V_{M.BEF}} = \frac{1}{4}{V_{M.SBC}} = \frac{1}{4}{V_{S.MBC}}\).

Ta có \({S_{MBC}} = \frac{1}{2}MN.BC = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\).

\( \Rightarrow {V_{S.MBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{BMEF}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{8}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\).

Chọn A.