Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3mx + m}}\)

Điều kiện: \({x^2} - 3mx + m \ne 0.\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng

\( \Leftrightarrow \) phương trình  \(g\left( x \right) = {x^2} - 3mx + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm \(x = 2\) hoặc phương trình có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\\\Delta  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 4m > 0\\{2^2} - 3m.2 + m = 0\end{array} \right.\\9{m^2} - 4m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m\left( {9m - 4} \right) > 0\\5m = 4\end{array} \right.\\m\left( {9m - 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > \frac{4}{9}\end{array} \right.\\m = \frac{4}{5}\end{array} \right.\\m = 0\\m = \frac{4}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{5}\\m = 0\\m = \frac{4}{9}\end{array} \right..\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0 \Rightarrow \) có 1 giá trị nguyên thỏa mãn bài toán.

Chọn A.