Phương pháp giải:

- Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua \(M\) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

- Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

- Cho \(M \in d\), tìm \({x_0}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{4x - 2}}{{2\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} }} = \dfrac{{2x - 1}}{{\sqrt {2{x^2} - 2x + 1} }}\).

Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua \(M\) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

Phương trình tiếp tuyến: \(y = \dfrac{{2{x_0} - 1}}{{\sqrt {2x_0^2 - 2{x_0} + 1} }}\left( {x - {x_0}} \right) + \sqrt {2x_0^2 - 2{x_0} + 1} \,\,\left( d \right)\).

\(M \in \left( d \right) \Rightarrow 5 = \dfrac{{2{x_0} - 1}}{{\sqrt {2x_0^2 - 2{x_0} + 1} }}\left( {4 - {x_0}} \right) + \sqrt {2x_0^2 - 2{x_0} + 1} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5\sqrt {2x_0^2 - 2{x_0} + 1}  = \left( {2{x_0} - 1} \right)\left( {4 - {x_0}} \right) + 2x_0^2 - 2{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {2x_0^2 - 2{x_0} + 1}  = 8{x_0} - 2x_0^2 - 4 + 4{x_0} + 2x_0^2 - 2{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {2x_0^2 - 2{x_0} + 1}  = 10{x_0} - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{x_0} - 3 \ge 0\\25\left( {2x_0^2 - 2{x_0} + 1} \right) = 100x_0^2 - 60{x_0} + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \ge \dfrac{3}{{10}}\\50x_0^2 - 10{x_0} - 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \ge \dfrac{3}{{10}}\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{{10}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_0} = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{{10}}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\) 

Vậy có duy nhất 1 tiếp tuyến đi qua \(M\left( {4;5} \right)\).

Chọn B.