Phương pháp giải:

- Xác định điểm \(H\).

- Xác định khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( {SAD} \right)\).

- Đặt \(AB = x \Rightarrow AD = 2x\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(SAB\), tính \(SH\) theo \(x\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tìm \(x\) và tính diện tích \(ABCD\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đặt \(AB = x \Rightarrow AD = 2x\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(HK \bot SA\,\,\left( {K \in SA} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot HK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot AD\\HK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(BH \cap \left( {SAD} \right) = A\) \( \Rightarrow \frac{{d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right)}} = \frac{{BA}}{{HA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right) = 2HK\).

\( \Rightarrow 2HK = \sqrt 2  \Leftrightarrow HK = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SH.AB = 1\) \( \Leftrightarrow SH = \frac{2}{x}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHA\) có đường cao \(HK\) ta có:

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{A^2}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow 2 = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{4}{{{x^2}}}\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 2\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2\).

\( \Rightarrow AB = 2,\,\,AD = 4\).

Vậy \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2.4 = 8\).

Chọn C.