Lời giải chi tiết:

Do \(a,\,\,b,\,\,c\) không âm nên nếu giả sử phương trình \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x \ge 0\) \( \Rightarrow {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 \ge 1 > 0\). Do đó 4 nghiệm của phương trình đều âm.

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} =  - a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_4} + {x_1}{x_3} + {x_1}{x_4} + {x_2}{x_4} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} + {x_2}{x_3}{x_4} + {x_3}{x_4}{x_1} + {x_1}{x_2}{x_4} =  - c\\{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4} =  - \left( {\sum {{x_1}} } \right) + \dfrac{{\sum {{x_1}{x_2}} }}{2} - \dfrac{1}{4}\left( {\sum {\dfrac{1}{{{x_1}}}} } \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sum {{x_1}{x_2}}  \ge \dfrac{1}{2}.6.\sqrt[6]{{{{\left( {{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}} \right)}^3}}} = \dfrac{6}{2} = 3\\\sum {\left( { - {x_1}} \right)}  + \dfrac{1}{4}\sum {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}} \ge 4\sqrt[4]{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} + \dfrac{1}{4}.4\sqrt[4]{{\dfrac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}}} = 5} \\ \Rightarrow P \ge 8.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 8.

Chọn C.