Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\):

- Đồ thị hàm số nhận \(y = {y_0}\) làm TCN nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

- Đồ thị hàm số nhận \(x = {x_0}\) làm TCĐ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

Hàm số có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 1\) (vì là hàm bậc ba và cắt trục tung tại điểm có tung độ \( - 1\))

Đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( { - 1;0} \right),\,\,\left( {1; - 2} \right);\,\,\left( {2;0} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a + 4b + 2c = 1\\ - a + b - c = 1\\a + b + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\\c = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}x - 1 = \dfrac{1}{2}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\end{array}\)

Khi đó \(y = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\dfrac{1}{2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang \(y = 2\) và tiệm cận đứng là \(x = 1,\,\,x = 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}\) có 3 đường tiệm cận.

Chọn B.