Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\) có 5 cực trị khi hoặc hàm số \(y = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\) có 3 giá trị cực trị không dương, hoặc có 2 giá trị cực trị không âm và 1 giá trị cực trị âm.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\) có 5 cực trị khi hoặc hàm số \(y = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\) có 3 giá trị cực trị không dương, hoặc có 2 giá trị cực trị không âm và 1 giá trị cực trị âm.

Ta có \(y' = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = m\\y = m - 32\\y = m - 5\end{array} \right.\).

TH1: Hàm số \(y = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\) có 3 giá trị cực trị không dương.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m - 32 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \le 32\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 0\).

TH2: Hàm số \(y = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m\) có 2 giá trị cực trị không âm và 1 giá trị cực trị âm.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m - 32 < 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m < 32\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le m < 32\)

Kết hợp 2 trường hợp \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}5 \le m < 32\\m \le 0\end{array} \right.\).

Lại có \(m\) là số nguyên dương \( \Rightarrow m \in \left\{ {5;6;7;...;31} \right\}\). Vậy có \(27\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.