Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| {x + 1} \right| - 1} \right)\) và đường thẳng \(y = 2\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

\(f\left( {\left| {x + 1} \right| - 1} \right) = 2\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| - 1 = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\\left| {x + 1} \right| - 1 = b \in \left( {0;1} \right)\\\left| {x + 1} \right| - 1 = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| = a + 1 \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\\\left| {x + 1} \right| = b + 1 \in \left( {1;2} \right)\,\,\left( 1 \right)\\\left| {x + 1} \right| = c + 1 \in \left( {2;3} \right)\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = b + 1\\x + 1 =  - b - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = b\\x =  - b - 2\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = c + 1\\x + 1 =  - c - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = c\\x =  - c - 2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn D.