Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( {f\left( {\sin x} \right)} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( {f\left( {\sin x} \right)} \right) = 2\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

\(f\left( {f\left( {\sin x} \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\sin x} \right) = a\,\,\left( {a \in \left( { - 2; - 1} \right)} \right)\\f\left( {\sin x} \right) = b\,\,\left( {b \in \left( { - 1;0} \right)} \right)\\f\left( {\sin x} \right) = c\,\,\left( {c \in \left( {1;2} \right)} \right)\end{array} \right.\)

+) \(f\left( {\sin x} \right) = a\) với \(a \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow \sin x = {a_1}\,\,\left( {{a_1} <  - 2} \right)\), phương trình vô nghiệm.

+) \(f\left( {\sin x} \right) = b\) với \(b \in \left( { - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {b_1} \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow Vo\,\,nghiem\\\sin x = {b_2} \in \left( {0;1} \right)\\\sin x = {b_3} \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow Vo\,\,nghiem\end{array} \right.\)

\(\sin x = {b_2} \in \left( {0;1} \right)\), biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\).

+) \(f\left( {\sin x} \right) = c\) với \(c \in \left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {c_1} \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow Vo\,\,nghiem\\\sin x = {c_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\\sin x = {c_3} \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow Vo\,\,nghiem\end{array} \right.\)

\(\sin x = {c_2} \in \left( { - 1;0} \right)\), biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy phương trình có 1 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\).

Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.