Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

- Đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{5}{2}} \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{5}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1}  - 3x}}{{2x + 5}} =  + \infty \) \( \Rightarrow x =  - \dfrac{5}{2}\)  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1}  - 3x}}{{2x + 5}} =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2}\)  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1}  - 3x}}{{2x + 5}} =  - \dfrac{5}{2}\) \( \Rightarrow y =  - \dfrac{5}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Chọn A.