Phương pháp giải:

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 trong 4 giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) =  \pm \infty \) thì \(x = a\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{2x - 2 - \sqrt {{x^2} + x + 4} }}{{{x^2} - 5x + 6}}\\ = \dfrac{{\left[ {\left( {2x - 2} \right) - \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right]\left[ {\left( {2x - 2} \right) + \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right]}}{{\left( {2x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left( {2x - 2} \right)}^2} - {x^2} - x - 4}}{{\left( {2x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \dfrac{{3{x^2} - 9x}}{{\left( {2x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \dfrac{{3x}}{{\left( {2x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right)\left( {x - 2} \right)}}\end{array}\)

Ta có :   

     \(\begin{array}{l}\mathop {\lim y}\limits_{x \to 2} \left( {2x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\\mathop {\lim y}\limits_{x \to 2} \left( {3x} \right) = 6\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{3x}}{{\left( {2x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 4} } \right)\left( {x - 2} \right)}} = \infty \end{array}\)

Do đó \(x = 2\)  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Chọn B.