Phương pháp giải:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\)  trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)

Xét các trường hợp có thể xảy ra của \(g\left( x \right)\)  để tìm giá trị của \(m\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)

Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\). Khi ta lấy đối xứng phần đồ thị \(g\left( x \right)\) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành rồi bỏ đi phần đồ thị phía dưới đó ta được đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Ta có: \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right) - 1.\left( {{x^2} + mx + m} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

             \( = \dfrac{{2{x^2} + 2x + mx + m - {x^2} - mx - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

             \( = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Suy ra hàm số \(y = g\left( x \right)\) luôn đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) hay \(g\left( 2 \right) > g\left( 1 \right)\)

Nếu \(g\left( 2 \right) > g\left( 1 \right) > 0\)  thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\). Do đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) > 0\\f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 + 2m}}{2} > 0\\\dfrac{{4 + 3m}}{3} = 2\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}\)

Nếu \(g\left( 2 \right) > 0 > g\left( 1 \right)\), ta có:    \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 2 \right) > 0\\g\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4 + 3m}}{3} > 0\\\dfrac{{1 + 2m}}{2} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{3} < m < \dfrac{1}{2}\)

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)\\g\left( 2 \right) >  - g\left( 1 \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - g\left( 1 \right)\\g\left( 2 \right) <  - g\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4 + 3m}}{3} = 2\\\dfrac{{4 + 3m}}{3} >  - \dfrac{{1 + 2m}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{{1 + 2m}}{2} = 2\\\dfrac{{4 + 3m}}{3} <  - \dfrac{{1 + 2m}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{2}{3}\\m >  - \dfrac{{11}}{{12}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{5}{2}\\m <  - \dfrac{{11}}{{12}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{2}{3}\\m =  - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)  (Loại).

Nếu \(0 > g\left( 2 \right) > g\left( 1 \right)\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - g\left( 1 \right)\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 2 \right) < 0\\ - f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4 + 3m}}{3} < 0\\ - \dfrac{{1 + 2m}}{2} = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{4}{3}\\m = \dfrac{{ - 5}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m =  - \dfrac{5}{2}\)

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{5}{2}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Chọn D.