Phương pháp giải:

1) Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\).

2) Sử dụng khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) và chọn \(a,b,n\) là các số thích hợp, từ đó quy ra tổng.

Lời giải chi tiết:

1) Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của  \({\left( {2{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0.\)

Ta có: \({T_{k + 1}} = C_{12}^k{\left( {2{x^3}} \right)^{12 - k}}.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = C_{12}^k{.2^{12 - k}}.{x^{3\left( {12 - k} \right)}}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{x^k}}}\) \( = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 3k - k}}\) \( = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 4k}}\)

Số hạng không chứa \(x\) nếu \(36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9\).

Vậy số hạng không chứa \(x\) là \(C_{12}^9.{\left( { - 1} \right)^9}{.2^{12 - 9}} =  - 1760\).

b) Chứng minh rằng \({7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}C_{17}^2 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}.\)

Số hạng tổng quát \(C_{17}^k{.7^{17 - k}}{.3^k}\), chọn \(n = 17,a = 7,b = 3\)

Xét tổng:

\({\left( {7 + 3} \right)^{17}} = C_{17}^0{.7^{17 - 0}}{.3^0} + C_{17}^1{.7^{17 - 1}}{.3^1} + ... + C_{17}^{16}{.7^{17 - 16}}{.3^{16}} + C_{17}^{17}{.7^0}{.3^{17}}\)

Do đó \({10^{17}} = {7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17}\) (đpcm)

Chọn B.