Phương pháp giải:

Giải phương trình \(y' = 0\) để tìm điểm cực trị của hàm số.

Lấy ra điểm cực trị của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) .

So sánh các giá trị \(f\left( {{x_{CT}}} \right)\) vừa lấy ra; \(f\left( { - 4} \right);\)\(f\left( 4 \right)\) để tìm \(\min ,\) max trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) .

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9 \\= 3\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Lại có:

\(f\left( { - 4} \right) =  - 75\)      \(f\left( { - 1} \right) = 6\)        \(f\left( 3 \right) =  - 26\)       \(f\left( 4 \right) =  - 19\)

\( \Rightarrow f\left( { - 4} \right) < f\left( 3 \right) < f\left( 4 \right) < f\left( { - 1} \right)\)

Do đó \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 6\)  và    \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 4} \right) =  - 75\)

Vậy \(M + m = 6 - 75 =  - 69\)

Chọn A.