Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) =  - 1\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy:

+) Đồ thị cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt

+) Đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( x \right) =  - 1\) có hai nghiệm phân biệt. Và các nghiệm này không trùng với 3 nghiệm ở trên nên phương trình \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right) = 0\) có năm nghiệm phân biệt.

Chọn C.