Phương pháp giải:

a) Tìm trục đối xứng, tọa độ đỉnh, khoảng đồng biến nghịch biến lập bảng biến thiên.

Tìm tọa độ các điểm đi qua và vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm nghiệm, từ đó suy ra điều kiện.

Lời giải chi tiết:

a)  (1 điểm) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số trên.

+) \( - \frac{b}{{2a}} = 1;\, - \frac{\Delta }{{4a}} = 4.\) Đỉnh \(I\left( {1;4} \right).\)

+) Trục đối xứng : \(x = 1.\)

+) Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Bảng giá trị

Đồ thị:

Cắt trục \(Oy\) tại \(\left( {0;3} \right)\), cắt trục \(Ox\) tại \(\left( { - 1;0} \right),\left( {3;0} \right)\).

Có trục đối xứng \(x = 1\), đỉnh \(\left( {1;4} \right)\).

b) (1 điểm) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = 2mx - 4m + 3\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn \(1.\)

Xét phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2m\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m > 1\\ - 2m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{{ - 1}}{2}\\m \ne  - 1\end{array} \right.\)

\(KL:\, - 1 \ne m < \frac{{ - 1}}{2}.\)

Chọn A.