Phương pháp giải:

Tính \(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {AB} \) và suy ra độ dài.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(OB\).

Khi đó \(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AE} \).

\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = a\) nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow AO = OB = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow OE = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Tam giác \(AOE\) vuông tại \(O\) có \(AE = \sqrt {A{O^2} + O{E^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{2{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AE} } \right| = 2AE\)\( = 2.\frac{{a\sqrt {10} }}{4} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Chọn A.