Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{1}{2}\)  nên \(y = \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - \dfrac{1}{2}\)  nên \(y =  - \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai TCN.

Chọn A.